Tìm kiếm theo cụm từ
Chi tiết đề tài

Thông tin chung

Tên đề tài (*) Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng
Cơ quan chủ trì Đại học Thái Nguyên
Cơ quan thực hiện Đại học Khoa học
Loại đề tài Đề tài cấp Bộ
Lĩnh vực nghiên cứu Toán học
Chủ nhiệm(*) Trương Minh Tuyên
Ngày bắt đầu 01/2016
Ngày kết thúc 12/2017

Tổng quan

Ngoài nước

    Bài toán xác định không điểm của toán tử accretive hay toán tử đơn điệu có nhiều ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như khoa học vật lí, tối ưu hóa, toán kinh tế, toán tài chính… Ở đây, ta quan tâm đến bài toán sau:

Xác định một phần tử  sao cho:

                                                                                                              (1)       

trong đó hay là một toán tử m-accretive hay đơn điệu cực đại đa trị, tương ứng  xác định trên không gian Banach Chú ý rằng khi  là không gian Hilbert thì toán tử m-accretive  được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.

     Một trong những phương pháp nổi tiếng để giải bài toán (1) là phương pháp điểm gần kề được đề xuất và nghiên cứu bởi Rockaffelar [10] vào năm 1976. Ông đã xây dựng dãy lặp  như sau:

                                                                                                             (2)

ở đây là một toán tử đơn điệu cực đại trên không gian Hilbert   với  là toán tử giải của  và  là một phần tử bất kì trong  Rockaffelar đã chứng minh được tính hội tụ yếu của thuật toán (2) về một nghiệm của bài toán (1), nếu dãy số dương  thỏa mãn điều kiện và dãy sai số tính toán ở mỗi bước lặp  thỏa mãn điều kiện

Năm 1991, Guler [3] đã đưa ra một ví dụ chỉ ra rằng thuật toán điểm gần kề (2) không hội tụ mạnh trong không gian Hilbert vô hạn chiều. Một ví dụ của Bauschke, Matousková và Reich [1] vào năm 2006 cũng đã chỉ ra thuật toán điểm gần kề chỉ hội tụ yếu nhưng không hội tụ theo chuẩn. Do đó, vấn đề nghiên cứu các phương pháp cải tiến thuật toán điểm gần kề (2) nhằm thu được sự hội tụ mạnh cũng đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như: Kamimura và Takahashi [5], Lehdili và Moudafi [6], O. Nevanline và S. Reich [9], H. K. Xu [13] …

    Trong những năm gần đây, xuất phát từ một số mô hình toán thực tế trong tối ưu hóa và vật lý, bài toán tìm không điểm của tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại hay bài toán tìm không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và tổng quát hơn là bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử kiểu đơn điệu, đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới, chẳng hạn: L. Hu, L. Liu [7] , Y. Qing, S. Y. Cho và X. Qin [10], Zegeye và Shahzed [15] …

    Năm 2005, H. H. Bauschke, P. L. Combettes và S. Reich [2] đã đề xuất kết hợp phương pháp điểm gần kề và phương pháp lặp luân phiên cho bài toán xác định không điểm của hai toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert. Tuy nhiên, họ chỉ thu được sự hội tụ yếu. Vấn đề này còn có thể tiếp tục nghiên cứu cho lớp toán tử kiểu đơn điệu và cũng có thể cải tiến kết quả này nhằm thu được sự hội tụ mạnh bằng cách kết hợp với các phương pháp hiệu chỉnh.

   Bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên một tập con lồi và đóng của không gian Banach (đặc biệt là tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn) đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, vì vậy vấn đề này đã và đang là chủ đề được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Một trong những kết quả nổi bật về lĩnh vực này là kết quả của Yamada (xem [14]) năm 2001 cho bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert bởi phương pháp lai đường dốc. Tuy nhiên, một nhược điểm của phương pháp này là đòi hỏi tính giao hoán của các ánh xạ không giãn. Điều này cũng đã được khắc phục bởi một số tác giả (xem [16], [21]), tuy nhiên các kết quả này cũng chỉ được nghiên cứu trên không gian Hilbert. Cho đến nay, các kết quả về lĩnh vực này trên không gian Banach vẫn chưa phổ biến và còn nhiều vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu.

Tài liệu tham khảo

[1] H. H. Bauschke, E. Matousková, S. Reich, Projection and proximal point methods: convergence results and counterexamples, Nonl. Anal., 56 (2004), 715-738.

[2] H. H. Bauschke, P. L. Combettes, and S. Reich, The asymptotic behavior of the composition of two resolvents, Nonl. Anal., 60, n. 2 (2005), 283-301.

[3] O. Guler, On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization, SIAM Jour. Contr. Optim., 29 (1991), 403-419

[4] J. S. Jung, Strong convergence of viscosity approximation methods for finding zeros of accretive operators in Banach spaces, Nonl. Anal., 72 (2010), 449-459.

[5] S. Kamimura and W. Takahashi, Strong convergence of a proximal-type algoritm in Banach spaces, SIAM Jour. Contr. Optim., 13, n. 3 (2002), 938-945.

[6] N. Lehdili and A. Moudafi, Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization, Optim., 37, n. 3 (1996), 239-252.

[7] L. Hu, L. Liu, A new iterative algorithm for common solutions of a finite family of accretive operators, Nonl. Anal., 70 (2009), 2344-2351.

[8] A.Moudafi, M. Oliny, Convergence of a splitting inertial proximal method for monotone operators, Journal of Computational and Applied Mathematics 155 (2003), 447-454

[9] O. Nevanlinna and S. Reich, Strong convergence of contraction semigroups and of iterative methods for accretive operators in Banach spaces, Israel J. Math., 32 (1979), 44-58.

[10] Y. Qing, S. Y. Cho, X. Qin, Convergence of iterative sequences for common zero points of a family of m-accretive mappings in Banach spaces, Fixed Point Theory and Applications Volume 2011, Article ID 216173, 12 pages.

[11] R. T. Rockaffelar, Monotone operators and proximal point algorithm, SIAM J. Contr. Optim., 12 (1976), 887-897.

[11] D. R. Sahu et al., Iterative methods for triple hierarchical variational inequalities and common fixed point problems, Fixed Point Theory and Applications 2014, 2014: 244.

[13] H.-K. Xu, A regularization method for the proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 36, n. 1 (2006), 115-125.

[14] I. Yamada, The Hybrid Steepest Descent Method for the Variational Inequality Problem Over the Intersection of Fixed Point Sets of Nonexpansive Mappings, Inherently Parallel Algorithms in Feasibility and Optimization and their Applications, 8, pp. 473-504, 2001.

[15] H. Zegeye, N. Shahzad, Strong convergence theorems for a common zero of a fi
nite family of m-accretive mappings
, Nonl. Anal., 66 (2007), 1161-1169.

[16] Haiyun Zhou, PeiyuanWang, A Simpler Explicit Iterative Algorithm for a Class of Variational Inequalities in Hilbert Spaces, J. Optim. Theory Appl.,  Vol. 161, n. 3 (2014), pp 716-727.

Trong nước

     Một số nhà toán học trong nước cũng đã nghiên cứu về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu, cũng như bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan như nhóm nghiên cứu của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, GS. TS. Nguyễn Bường,…Trong đó, cũng đã có một số kết quả nghiên cứu mới của GS. TS. Phạm Kỳ Anh và cộng sự về bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử m-j-đơn điệu, hay ngược đơn điệu mạnh,…(xem [16-23]). Nhóm nghiên cứu Toán ứng dụng tại Đại học Thái Nguyên (TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, TS. Trương Minh Tuyên, TS. Lâm Thùy Dương, TS. Nguyễn Đình Dũng, ThS. NCS. Phạm Thanh Hiếu, ThS. NSC. Nguyễn Thanh Hường, ThS. NCS. Bùi Việt Hương, ThS. NCS. Nguyễn Song Hà,…) cũng đã có một số kết quả nghiên cứu về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu, bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan (xem Mục 10.3). Hiện tại những chủ đề liên quan đến các lớp bài toán trên vẫn còn thu hút sự nghiên cứu của nhiều người làm toán trong nước theo những hướng khác nhau. Như vậy việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra trong đề tài là cần thiết và thời sự.

Tài liệu tham khảo

[17] P. K. Anh, C. V. Chung, Parallel regularized Newton method for nonlinear ill-posed equations, Numerical Algorithms, Vol. 58, n. 3 (2011), 379-398.

[18] P. K. Anh, N. Buong and D. V. Hieu, Parallel methods for regularizing systems of equations involving accretive operators, Applicable Analysis, Vol. 93, n. 10 (2014), 2136-2157.

[19] P. K. A. and D. V. Hieu, Parallel Hybrid Iterative Methods for Variational Inequalities,  quilibrium Problems, and Common Fixed Point Problems, Vietnam J. Math. Accepted, 2014.

[120] N. Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Mathematics and Computation, 217 (2010), 322-329.

[21] N. Buong , Strong convergence of a method for variational inequality problems and fixed point problems of a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, J. Appl. Math. & Informatics Vol. 29 (2011), n. 1-2, 61-74.

[22] N. Buong and L.T. Duong, An Explicit Iterative Algorithm for a Class of Variational Inequalities in Hilbert Spaces, J. Optim. Theory Appl., 151 (2011), 513-524.

[23] N. T. T. Thuy, An Iterative Method for Equilibrium, Variational Inequality, and Fixed Point Problems for a Nonexpansive Semigroup in Hilbert Spaces, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, Vol. 38, n. 1 (2015), 113-130.

[24] N. T. T. Thuy, Regularization methods and iterative methods for variational inequality with accretive operator, Acta Math. Vietnam, DOI 10.1007/s40306-015-0123-2.

Tính cấp thiết

Bài toán xác định không điểm của toán tử accretive trong không gian Banach hay bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại có nhiều ý nghĩa quan trong trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Toán kinh tế, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến vật lí... Chẳng hạn như, cho  là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới từ không gian Banach  vào trường số thực . Khi đó, ta biết rằng dưới vi phân của nó là một toán tử đa trị đơn điệu cực đại (chú ý rằng khái niệm toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert trùng với khái niệm toán tử accretive) và nghiệm của phương trình bao hàm  chính là nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi  như  vậy bài toán  xác định  không điểm của toán tử đơn điệu cực đại hay  bài toán xác định không điểm của toán tử accretive thực sự đóng vai trò quan trong trong lĩnh vực tối ưu hóa. Ngoài ta, chúng ta cũng biết rằng nếu  là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach  thì  với  là toán tử đồng nhất trong  là một toán tử accretive. Do đó, bài toán xác định một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach tương đương với bài toán xác định một không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử accretive.

            Một trong những phương pháp nổi tiếng để giải bài toán xác định không điểm của một toán tử đơn điệu cực đại là phương pháp điểm gần kề được đề xuất nghiên cứu bởi Martinet cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi và sau này được mở rộng bởi Rockafellar. Tuy nhiên, với phương pháp này người ta chỉ thu được sự hội tụ yếu. Để thu được sự hội tụ mạnh, nhiều cải tiến của phương pháp điểm gần kề đã được đề xuất, trong số đó phải kể đến phương pháp prox-Tikhonov được đề xuất bởi Lehdili và Moudafi năm 1996 (Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization,

Optim., 37, N. 3, 239-252 (1996)) và sau này được mở rộng bởi H. K. Xu năm 2006 (A regularization method for the proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 36, N. 1, 115-125 (2006)), Song và Yang năm 2009 (A note on a paper: A regularization method for the proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 43, N. 1, 171-174 (2009)) và một số phương pháp dựa trên sự kết hợp giữa phương pháp điểm gần kề với phương pháp CQ hay phương pháp lặp Halpern…

            Trong thời gian gần đây, xuất phát từ một số bài toán tối ưu hay các mô hình toán trong vật lý, bài toán xác định không điểm của tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại hay bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử đơn điệu đã được đề xuất và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng. Một trong những phương pháp giải lớp bài toán trên đã được đề xuất bởi H. H. Bauschke, P. L. Combettes và S. Reich (The asymptotic behavior of the composition of two resolvents, Nonlinear Anal., 60, No. 2, 283-301 (2005)) dựa trên phương pháp chiếu luân phiên được đề xuất và nghiên cứu bởi von Neumann năm 1930, tuy nhiên họ chỉ thu được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh. Cho đến nay vẫn chưa có cải tiến nào cho phương pháp của H. H. Bauschke, P. L. Combettes và S. Reich nhằm thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp. Do đó đây vẫn còn là vấn đề mở còn có thể tiếp tục nghiên cứu và mở rộng cho các lớp bài toán khác, như bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng…

            Như vậy có thể nói bài toán xác định không điểm của một họ hữu hạn các toán tử kiểu đơn điệu nói chung hay bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu nói riêng có nhiều ứng dụng quan trong trong các lĩnh vực toán học ứng dụng. Chính vì vậy, chúng tôi đề xuất thực hiện nghiên cứu đề tài “Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng”.

Mục tiêu

-  Đề xuất các phương pháp xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và mở rộng cho trường hợp hữu hạn toán tử;

-  Đề xuất các phương pháp xấp xỉ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung của các toán tử kiểu đơn điệu;

-  Nghiên cứu ứng dụng của các kết quả thu được cho một số lớp bài toán quan trọng, như: Bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng;

-  Xây dựng một số mô hình bài toán cụ thể và thử nghiệm số các kết quả lý thuyết thu được trên đó, nhằm khẳng định tính ưu việt và khả năng ứng dụng tốt của các phương pháp.

Nội dung

-  Sơ lược một số nghiên cứu đã công bố về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân;

-  Nghiên cứu kết hợp phương pháp prox-Tikhonov và phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu;

-  Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp của Halpern với phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu;

-  Nghiên cứu một số phương pháp lai ghép giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu;

-  Đưa ra một số ứng dụng của các kết quả cho bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng.

Tải file Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng tại đây

PP nghiên cứu

- Tra cứu tài liệu để có hiểu biết về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân;

- Thực hiện chạy số nhằm dự đoán kết quả và tiến hành chứng minh tính đúng đắn của phương pháp;

- Thực hiện tính toán số bằng ngôn ngữ Matlab nhằm minh họa cho tính đúng đắn và hữu hiệu của các kết quả thu được.

Hiệu quả KTXH

- Đưa ra một số kết quả mới, có giá trị khoa học về lĩnh vực phương trình toán tử và bất đẳng thức biến phân;

- Nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho chủ nhiệm đề tài và nhóm nghiên cứu cũng như của cán bộ giảng dạy toán học ở Đại học Thái Nguyên;

- Phục vụ công tác đào tạo đại học và sau đại học của Đại học Thái Nguyên, mở rộng hợp tác nghiên cứu với các tổ chức trong và ngoài nước.

ĐV sử dụng

STT Tên đơn vị Người đại diện
STT Tên người tham gia
1 ThS. NCS. Nguyễn Thanh Hường
2 ThS. NCS. Bùi Việt Hương
3 ThS. NCS. Nguyễn Song Hà
4 ThS. Nguyễn Thanh Mai

  BÌNH LUẬN BẠN ĐỌC(0)

  GỬI BÌNH LUẬN

Họ tên*
Email
Tiêu đề(*)
Nội dung*