Bài toán xác định không điểm của toán tử accretive trong không gian Banach hay bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại có nhiều ý nghĩa quan trong trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Toán kinh tế, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến vật lí... Chẳng hạn như, cho  là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới từ không gian Banach  vào trường số thực . Khi đó, ta biết rằng dưới vi phân của nó là một toán tử đa trị đơn điệu cực đại (chú ý rằng khái niệm toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert trùng với khái niệm toán tử accretive) và nghiệm của phương trình bao hàm  chính là nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi  như  vậy bài toán  xác định  không điểm của toán tử đơn điệu cực đại hay  bài toán xác định không điểm của toán tử accretive thực sự đóng vai trò quan trong trong lĩnh vực tối ưu hóa. Ngoài ta, chúng ta cũng biết rằng nếu  là một ánh xạ không giãn trong không gian Banach  thì  với  là toán tử đồng nhất trong  là một toán tử accretive. Do đó, bài toán xác định một điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach tương đương với bài toán xác định một không điểm chung của một họ hữu hạn các toán tử accretive.

            Một trong những phương pháp nổi tiếng để giải bài toán xác định không điểm của một toán tử đơn điệu cực đại là phương pháp điểm gần kề được đề xuất nghiên cứu bởi Martinet cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi và sau này được mở rộng bởi Rockafellar. Tuy nhiên, với phương pháp này người ta chỉ thu được sự hội tụ yếu. Để thu được sự hội tụ mạnh, nhiều cải tiến của phương pháp điểm gần kề đã được đề xuất, trong số đó phải kể đến phương pháp prox-Tikhonov được đề xuất bởi Lehdili và Moudafi năm 1996 (Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization,

Optim., 37, N. 3, 239-252 (1996)) và sau này được mở rộng bởi H. K. Xu năm 2006 (A regularization method for the proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 36, N. 1, 115-125 (2006)), Song và Yang năm 2009 (A note on a paper: A regularization method for the proximal point algorithm, J. Glob. Optim., 43, N. 1, 171-174 (2009)) và một số phương pháp dựa trên sự kết hợp giữa phương pháp điểm gần kề với phương pháp CQ hay phương pháp lặp Halpern…

            Trong thời gian gần đây, xuất phát từ một số bài toán tối ưu hay các mô hình toán trong vật lý, bài toán xác định không điểm của tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại hay bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử đơn điệu đã được đề xuất và nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng. Một trong những phương pháp giải lớp bài toán trên đã được đề xuất bởi H. H. Bauschke, P. L. Combettes và S. Reich (The asymptotic behavior of the composition of two resolvents, Nonlinear Anal., 60, No. 2, 283-301 (2005)) dựa trên phương pháp chiếu luân phiên được đề xuất và nghiên cứu bởi von Neumann năm 1930, tuy nhiên họ chỉ thu được sự hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh. Cho đến nay vẫn chưa có cải tiến nào cho phương pháp của H. H. Bauschke, P. L. Combettes và S. Reich nhằm thu được sự hội tụ mạnh của dãy lặp. Do đó đây vẫn còn là vấn đề mở còn có thể tiếp tục nghiên cứu và mở rộng cho các lớp bài toán khác, như bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng…

            Như vậy có thể nói bài toán xác định không điểm của một họ hữu hạn các toán tử kiểu đơn điệu nói chung hay bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu nói riêng có nhiều ứng dụng quan trong trong các lĩnh vực toán học ứng dụng. Chính vì vậy, chúng tôi đề xuất thực hiện nghiên cứu đề tài “Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng”.

-         Nghiên cứu và đề xuất các phương pháp xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và mở rộng cho trường hợp hữu hạn toán tử;

-         Nghiên cứu và đề xuất các phương pháp xấp xỉ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của các ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung của các toán tử kiểu đơn điệu;

-         Nghiên cứu ứng dụng của các kết quả thu được cho một số lớp bài toán quan trọng, như: Bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng;

Xây dựng một số mô hình bài toán cụ thể và thử nghiệm số các kết quả lý thuyết thu được trên đó, nhằm khẳng định tính ưu việt và khả năng ứng dụng tốt của các phương pháp.

-         Sơ lược một số nghiên cứu đã công bố về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân;

-         Nghiên cứu kết hợp phương pháp prox-Tikhonov và phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu;

-         Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp của Halpern với phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu;

-         Nghiên cứu một số phương pháp lai ghép giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn hay tập không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu;

-         Đưa ra một số ứng dụng của các kết quả cho bài toán tối ưu không ràng buộc, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng.

Tải file Xấp xỉ không điểm chung của hai toán tử kiểu đơn điệu và ứng dụng tại đây

- Tra cứu tài liệu để có hiểu biết về bài toán xác định không điểm của toán tử kiểu đơn điệu và bài toán bất đẳng thức biến phân;

- Thực hiện chạy số nhằm dự đoán kết quả và tiến hành chứng minh tính đúng đắn của phương pháp;

- Thực hiện tính toán số bằng ngôn ngữ Matlab nhằm minh họa cho tính đúng đắn và hữu hiệu của các kết quả thu được.

- Đưa ra một số kết quả mới, có giá trị khoa học về lĩnh vực phương trình toán tử và bất đẳng thức biến phân;

- Nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học cho chủ nhiệm đề tài và nhóm nghiên cứu cũng như của cán bộ giảng dạy toán học ở Đại học Thái Nguyên;

- Phục vụ công tác đào tạo đại học và sau đại học của Đại học Thái Nguyên, mở rộng hợp tác nghiên cứu với các tổ chức trong và ngoài nước.