Nghiên cứu về tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của một số lớp môđun quan trọng, chẳng hạn môđun đối đồng điều địa phương, môđun Ext, môđun Tor, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng,… là một trong những vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán, đại số đồng điều, và hình học đại số. Điều này thể hiện trong các câu hỏi của các nhà toán học nổi tiếng, chẳng hạn C. Huneke năm 1990 (hỏi về tính hữu hạn của tập Ass Hⁱ_I(M)), hoặc M. Brodmann năm 2002 (hỏi về tính ổn định của các thành phần phân bậc Hⁱ_I(M)_n). Sau đó có rất nhiều công trình nghiên cứu về chủ đề này, chẳng hạn các công trình của: T. Marley,  R. Sharp, L. T. Nhàn, N. T. Cường, A. Singh, M. Katzman, Khashyarmanesh, N. V. Hoàng,…

Cho M, N là các môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether (R,m), và I là iđêan của R. Theo nghiên cứu gần đây, chúng tôi chỉ ra rằng các môđun đối đồng điều Hⁱ_m(M,N) luôn là Artin (lưu ý rằng lớp môđun Hⁱ_I(M,N) bao hàm cả lớp môđun Ext và lớp môđun đối đồng điều địa phương Hⁱ_I(N)). Tuy nhiên những hiểu biết về lớp môđun này còn quá ít, chẳng hạn người ta vẫn chưa biết chiều Noether của chúng có liên hệ như thế nào với các bất biến khác. Thậm trí ngay cả khi M có chiều xạ ảnh hữu hạn ta cũng chưa biết môđun cấp cao nhất của Hⁱ_m(M,N) là bao nhiêu mà không bị triệt tiêu. Vì thế vấn đề đặt ra là: Câu hỏi 1. Nghiên cứu dáng điệu của chiều Noether của các môđun Hⁱ_m(M,N) trong mối liên hệ với chỉ số i? Mặt khác ta biết rằng khi M có chiều xạ ảnh vô hạn thì các môđun Hⁱ_m(M,N) có thể không triệt tiêu tại vô hạn bậc (theo ví dụ của N. Suzuki). Từ đó người ta hỏi rằng: Câu hỏi 2. Chiều Noether của chúng có ổn định hay không khi chỉ số i tiến đến vô hạn ? Một vấn đề nữa có quan hệ chặt chẽ với bài toán về tính hữu hạn, đó là vấn đề xuất phát từ kết quả nghiên cứu của M. Brodmann năm 1970: ông ấy đã chứng tỏ rằng Ass_R0(M_n) và depth(M_n) là những đại lượng ổn định khi n>>0. Gần đây chúng tôi thu được một số kết quả theo hướng này về tính ổn định và hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương Hⁱ_I(M_n) trong đó I là iđêan của vành cơ sở R₀ (xem trong các công trình của Cuong-Hoang-Khanh 2010, Cuong-Hoang 2014 trên tạp chí Communications in Algebra). Ngoài ra còn khá nhiều bất biến quan trọng khác của của môđun đối đồng điều địa phương Hⁱ_m0(M_n) cần được nghiên cứu tính ổn định khi n>>0 (trong đó m₀ là iđêan cực đại của vành cơ sở R₀). Chẳng hạn, ta có vấn đề là: Câu hỏi 3: Nghiên cứu tính ổn định của một số quỹ tích của môđun phân bậc Å_nÎZM_n khi n đủ lớn?

Tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên: cụ thể là nghiên cứu và chứng minh các kết quả mới về tính hữu hạn và ổn định (của chiều Noether, của tập Ass, của tập Att, của tập Supp,… ) của một số lớp môđun quan trọng (Ext, Hⁱ_I(M,N), Hⁱ_I(M),…).

Gồm 3 phần. Kiến thức chuẩn bị. Phần 2: Chứng minh kết quả mới về tính hữu hạn. Phần 3: chứng minh kết quả mới về tính ổn định

Tải file Nghiên cứu tính hữu hạn của một số lớp môđun đối đồng điều tại đây

- Giáo dục, đào tạo: Thúc đẩy nghiên cứu và đào tạo sau đại học cho ngành Đại số và Lý thuyết số. Tăng cường hợp tác nghiên cứu với các cơ sở bên ngoài.

- Kinh tế, xã hội:

- An ninh, quốc phòng: