Hiện nay, lý thuyết về các điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ được quan tâm nghiên cứu nhiều bởi vì sự áp dụng của chúng đối với lớp các bài toán tối ưu hóa vectơ và bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ. Về điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng vectơ có ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều biểu diễn theo kiểu Karush-Kuhn-Tucker (KKT) cho nghiệm hữu hiệu yếu, hữu hiệu Henig, hữu hiệu toàn cục và siêu hữu hiệu cho bài toán thông qua đạo hàm theo hướng, đạo hàm suy rộng kiểu Clarke, dưới vi phân suy rộng Clarke, dưới vi phân Michel-Penot và dưới đạo hàm tiếp liên chưa được quan tâm nghiên cứu (xem [1,2,3]). Điều kiện tối ưu kiểu KKT là điều kiện tối ưu thu được từ điều kiện tối ưu dạng Fritz-John mà trong đó các hệ số liên kết với đạo hàm hay dưới vi phân của hàm mục tiêu là không âm và chúng không đồng thời bằng 0. Trường hợp tất cả các hệ số liên kết với đạo hàm hay dưới vi phân của hàm mục tiêu là dương, điều kiện tối ưu kiểu KKT còn được gọi là điều kiện tối ưu kiểu KKT mạnh. Các điều kiện tối ưu này giữ một vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt khi tính lồi bị hủy bỏ, điều kiện cần và đủ không đồng nhất với nhau và điều này đòi hỏi chúng ta cần phải xây dựng thuật toán số để kiểm tra nghiệm tối ưu. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu cụ thể trong tương lai. 

Để tiếp cận nghiên cứu tính tối ưu tại một điểm chấp nhận được cho trước của bài toán tối ưu, chúng ta cần phải thay các hàm mục tiêu và ràng buộc của bài toán bằng các đạo hàm hay các dưới vi phân của chúng một cách phù hợp và thay tập chấp nhận được bằng nón tiếp xúc bởi vì thông tin của đạo hàm và nón tiếp xúc cung cấp cho chúng ta thông tin của tính tối ưu tại điểm được xem xét trong bài toán tối ưu. Nhưng việc làm này là không bao giờ dễ dàng nhưng lại hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu toán học ứng dụng. Đó là lý do tại sao điều kiện tối ưu được quan tâm nghiên cứu nhiều cho lớp các bài toán tối ưu vectơ trong thời gian gần đây bởi số lượng lớn các tác giả trong và ngoài nước.

Trong những năm gần đây,  Luu-Hang dẫn điều kiện tối ưu cho các nghiệm hữu hiệu yếu địa phương cho bất đẳng thức biến phân vectơ sử dụng ký hiệu dưới vi phân Michel-Penot;  Ye  cung cấp quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ không trơn với dữ liệu liên tục Lipschitz và khả vi Fr'echet theo dưới vi phân Michel-Penot;  Clarke hiện thị các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đơn trị thông qua dưới vi phân Clarke và dưới vi phân Michel-Penot. Gần đây hơn, Luu thiết lập các điều kiện tối ưu cần kiểu KKT trong các dạng cơ bản và đối ngẫu cho hữu hiệu theo dưới vi phân Michel-Penot cho một bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc trong đó các ánh xạ là hoặc Lipschitz địa phương hoặc khả vi Fr'echet; Luu và Mai thu được các điều kiện tối ưu cần cho hữu hiệu Henig và siêu hữu hiệu trong bài toán cân bằng vectơ Lipschitz địa phương với ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức theo dưới vi phân Michel-Penot. Gần đây nhất, Khanh và Tung cung cấp các điều kiện tối ưu KKT cho các nghiệm chính thường Borwein và nghiệm cô lập trong quy hoạch đa mục tiêu bán vô hạn không trơn theo dưới vi phân Michel-Penot. Với hiểu biết chúng tôi, hiện tại không có bài báo liên quan đến các điều kiện tối ưu cần và đủ cơ bản và đối ngẫu KKT cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương và nghiệm hữu hiệu địa phương trong bài toán cân bằng vectơ không trơn với ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức sử dụng ký hiệu của dạo hàm theo phương Michel-Penot. 

Nghiên cứu, xây dựng các điều kiện tối ưu kiểu Fritz-John, Kuhn-Tucker và Krush-Kuhn-Tucker cho các kiểu nghiệm hữu hiệu của bài toán cân bằng vectơ với ràng buộc tập, đẳng thức và bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều cùng với một số áp dụng của chúng.

Sử dụng các kết quả có sẵn thiết lập các điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ

02 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế ISI

Các bài báo và các công trình công bố sẽ là tài liệu cho những nghiên cứu sâu hơn trong chủ đề này.