10.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước:

       Cho (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Dãy  chính quy  là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu cấu trúc của vành và môđun trong Đại số giao hoán. Năm 1978, N. T. Cường, N. V. Trung và P. Schenzenl [CTS] giới thiệu dãy lọc chính quy (f-dãy) và lớp môđun gọi là f-môđun, qua đó dùng khái niệm f-dãy để đặc trưng lớp môđun này. Ý tưởng mở rộng khái niệm dãy chính quy thành dãy chính quy suy rộng thuộc về  L. T. Nhàn [Nh] năm 2005 và đặc biệt là năm 2006, M. Brodmann và L. T. Nhàn [BNh] giới thiệu khái niệm dãy chính quy với chiều > s, với s là số nguyên lớn hơn hoặc bằng -1. Với khái niệm này, các khái niệm dãy chính quy, dãy lọc chính quy theo nghĩa của [CTS] và dãy chính quy suy rộng theo nghĩa của [Nh] được quy về tương ứng là dãy chính quy với chiều lớn hơn -1, 0 và 1.

       Năm 2009, xuất phát từ khái niệm dãy chính quy với chiều >s, Naser Zamani [N] giới thiệu một lớp môđun thỏa mãn tính chất mọi hệ tham số đều là dãy chính quy với chiều >s và gọi là lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều >s. Cũng với khái niệm này, các lớp môđun Cohen-Macaulay, f-môđun được nghiên cứu bởi [CTS] và f-môđun suy rộng được nghiên cứu bởi [NM] tương ứng là các lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều lớn hơn -1, 0, 1. Trong bài báo này, Naser Zamani đã nghiên cứu các tính chất, đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều >s thông qua tính catenary, tính đẳng chiều và địa phương hóa của tập giá  gồm các iđêan nguyên tố liên kết với chiều >s của M.

     Đề tài này nhằm nghiên cứu và phát triển một số vấn đề sau:

-          Nghiên cứu đặc trưng của lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều >s qua số bội, chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương và kiểu đa thức của M.

-          Nghiên cứu một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay với chiều >s  thông qua chiều của tập quỹ tích không Cohen-Macaulay của M, hệ tham số,….  

Danh mục các công trình đã công bố trong và ngoài nước thuộc lĩnh vực của đề tài:

1. [BNh] M. Brodmann and L. T. Nhan, “A finiteness result for asociated primes of certain Ext-modules”, Comm. Algebra, 36, 2006, pp 1527-1536.
2. [CTS] N. T. Cuong, P. Schenzel and N. V. Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen-Macaulay Moduln, Math. Nachr,  85, pp. 57-73.
3. [Nh] L. T. Nhan, “On generalized regular sequence and the finitenees for associate primes of local cohomology modules”,  Comm. Algebra, 33 (3) (2005) 793-806.
4. [NM] L. T. Nhan and M. Morales, “Generalized f-modules and the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra, 34, 2006, pp. 864-878.
5. [Z] N. Zamani, “Cohen-Macaulay modules in dimension >s and result on local cohomology”, Comm. Algebra, 37 (4), pp. 1297-1307.

10.2. Danh mục các công trình đã công bố thuộc lĩnh vực của đề tài của chủ nhiệm và những thành viên tham gia nghiên cứu:

1.      N. T. Dung, “Some example about a symptotic stability of associate primes ideal of Atinian”,  Journal of Science and Technology-TNU, Vol. 1(21), 2002, pp. 65-70.

2. N. T. Dung and L. T. Nhan, "On generalized co-Cohen-Macaulay and co-Buchsbaum modules over Commutative rings", Vietnam  J.  Math.,  32(1), 2004,  pp.  113-118.

3.      N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan, "On generalized co-Cohen-Macaulay and co-Buchsbaum modules", Algebra Colloquium, 1 (14), 2007, pp 165-188.

4.      N. T. Dung, "On sequentially co-Cohen-Macaulay modules", Algebra Colloquium, 2 (14), 2007, pp 265-278.

5.      N. T. Cuong, N. T. Dung and L. T. Nhan, "Top local cohomology and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module",   Communication in Algebra, 35 (2007), 1691-1701 (Taylor and Francis INC Publisher).

6.       N. T. Dung, “On filter co-regular sequence and co-filter module”, East-West Journal of Maths./Khon Kaen Univ., Thailand, Vol. 9 (2), 2007, pp. 113-223.

7.      N. T. Dung, “On filter co-reguler sequences and co-localization”,  Journal of Science and Technology – TNU, 2(46), 2008, pp. 76-80.

8.      L. T. Nhan and N. T. Dung, “A finiteness result for attached primes of certain Tor-modules”, Algebra Collq./World Scientific Publ. 2009, Preprint.

9..      N. T. Dung and L. P. Thao, “On sequentally generalized co-Cohen-Macaulay modules”, Journal of Science and Technology – TNU, Vol. 76 (14), 2010, pp. 165-170.

10.    N. T. Cuong, L.T. Nhan and N. T. K. Nga, “On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module”, J.Agebra, 323 (2010), pp. 3029-3038.

11.    L.T. Nhan, N. T. H. Loan and N. T. K. Nga, “The function  of the Buchsbaum modules and the generalized”, Journal of Science, 6 (2009), pp.70-74

Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm trong phạm trù các môđun Noether và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán như: lý thuyết chiều, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa,… Đã có nhiều hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới, chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự như lớp môđun Cohen-Macaulay. Đó là các lớp môđun: Buchsbaum giới thiệu bởi Struckrat và Vogel, Cohen-Macaulay suy rộng được đưa ra bởi N. T. Cường, N.V. Trung và P. Schenzel (1978), Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn (2003), lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều >s được nghiên cứu bởi Naser Zamani năm 2009,…

         Cho đến nay, việc nghiên cứu cấu trúc của vành và môđun Cohen-Macaulay vẫn đang là một hướng nghiên cứu quan trọng và thời sự của Đại sô giao hoán, được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới. Chính vì vậy, việc chọn đề tài “Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s” sẽ góp phần vào việc phát triển lý thuyết về môđun trong Đại số Giao hoán.

• Nghiên cứu cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay với chiều >s thông qua số bội, môđun đối đồng điều địa phương, kiểu đa thức môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương, Noether.
• Góp phần nâng cao năng lực giảng dạy và nghiên cứu môn Đại số tại ĐHTN.
• Thúc đẩy hợp tác NCKH với các cơ sở nghiên cứu trong và ngoài nước.

Tải file Một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay với chiều > s. tại đây

14.1. Cách tiếp cận: Dùng các công cụ dãy, đối đồng điều địa phương,… để nghiên cứu cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay với chiều >s.

14.2. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết: đọc tài liệu, thảo luận nhóm, tham dự hội thảo để trao đổi, hợp tác nghiên cứu.

• Góp phần vào công tác đào tạo đội ngũ trình độ cao của Đại học Thái Nguyên;
• Góp phần tăng cường năng lực đội ngũ nghiên cứu của Đại học.
• Mở rộng hợp tác nghiên cứu với các cơ sở nghiên cứu trong và ngoài nước

Góp phần đào tạo đại học và sau đại học  ngành Toán thuộc Đại học Thái Nguyên