Để xác định một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên C, Alber [4] đã đề suất phương pháp đường dốc nhất sau:

x­­n+1 = PC(xn -­­n(I - T)xn); n 0; x0 C; (1.1)

trong đó I là ánh xạ đồng nhất trong H, và chứng minh được rằng nếu dãy số thực không âm {­­n} được chọn sao cho ­­n 0 khi n và {xn} bị chặn, thì:

(i) Tồn tại điểm tụ yếu C của {xn};

(ii) Mọi điểm tụ yếu của {xn} đều thuộc F(T);

(iii) Nếu F(T) chỉ gồm một phần tử, i.e., F(T) = {}, thì {xn} hội tụ yếu về .

Từ các thuật toán của Solodov và Svaiter [5] , Nakajo và Takahashi [2] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của quá trình lặp sau:

x0 C;

yn = nxn + (1 - n)Txn;

Cn = {z C : ||yn – z|| ||xn – z||};

Qn = {z C : <xn - x0; z – xn> 0; (1.2)

xn+1 = PCnQn(x0); n 0;

trong đó {n} [0; a] với mỗi a [0; 1), để xác định một điểm bất động của ánh xạ không giãn T trên C, và

x0 C;

yn = nxn + (1 - n)Tnxn;

Cn = {z C : ||yn – z|| ||xn – z||};

Qn = {z C : <xn - x0; z – xn> 0; (1.3)

xn+1 = PCnQn(x0); n 0;

trong đó Tn được xác định bởi

Tny = ;

với mỗi y C, n [0; a] với mỗi a [0; 1) và {n} là một dãy số thực không âm phân kì, để xác định một điểm bất động của một nửa nhóm ánh xạ không giãn {T(t) : t > 0}.

Ngoài ra, năm 2008, Takahashi, Takeuchi và Kubota [6] đã đề suất một dạng đơn giản của (1.3) như sau:

x0 H, C1 = C; x1 = PC1x0;

yn = nxn + (1 - n)Tnxn;

Cn = {z Cn : ||yn – z|| ||xn – z||}; (1.4)

xn+1 = PCn+1x0; n 1;

Họ đã chỉ ra (Định lí 4.4 trong [6]) rằng nếu 0 n a < 1; 0 < n < với mọi n 1 và n , thì {xn} hội tụ mạnh về u0 = PFx0: Cũng trong thời điểm đó, Saejung [7] đã xét quá trình lặp tương tự không cần tích phân Bochner:

x0 H, C1 = C; x1 = PC1x0;

yn = nxn + (1 - n)T(tn)xn;

Cn = {z Cn : ||yn – z|| ||xn – z||}; (1.5)

xn+1 = PCn+1x0; n 1;

trong đó 0 n a < 1; lim infn tn = 0; lim supn tn > 0, và limn(tn+1 - tn) = 0. Khi đó {xn} hội tụ mạnh về u0 = PFx0

10.2. Trong nước (phân tích, đánh giá tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở Việt Nam, liệt kê danh mục các công trình nghiên cứu, tài liệu có liên quan đến đề tài được trích dẫn khi đánh giá tổng quan)

Nếu C H, thì Cn và Qn là các nửa không gian. Do đó, hình chiếu của xn+1 lên Cn Qn ở các phương pháp nêu trên được biểu diễn bởi công thức hiện (xem [13])

xn+1 = x0 + 1vn + 2(x0 - xn); (1.6)

với 1; 2 là nghiệm của hệ phương trình gồm 2 phương trình với 2 ẩn

1||vn||² + 2<vn, x0 – xn> = -<x0 – xn, vn>

1<vn, x0 – xn> + 2||x0 – xn||²= -||x0 – xn||²; (1.7)

trong đó vn = xn - Txn.

Nếu C là một tập con thực sự của H, thì Cn và Qn không phải là các nửa không gian. Khi đó, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tìm tập Cn và Qn như thế nào đây và liệu có thể biểu diễn xn+1 tương tự như trong [13]? Mới đây GS Nguyễn Bường trong [14], [15], [16] và [17] đã đề xuất một cách tiếp cận mới trong đó Cn và Qn luôn là hai nửa không gian.

Tài liệu tham khảo:

{1} E.F. Browder, Fixed-point theorems for noncompact mappings in Hilbert spaces, Proceed. Nat. Acad. Sci. USA 53: 1272-1276 (1965)

{2} R. DeMarr, Common fixed points for commuting contraction mappings, Pacific J. Math. 13: 1139-1141 (1963)

{3} W.R. Mann, Mean value methods in iteration, Proc. Amer. Math. Soc. 4: 506-510 (1953)

{4} A. Genel, J. Lindenstrass, An example concerning fixed points, Israel J. Math. 22: 81-86 (1975)

{5} B. Halpern, Fixed points of nonexpanding mapps, Bull. Am.Math. Soc. 73: 957-961 (1967)

{6} P.L. Lions, Approximation de points fixes de contractions, C.R. Acad. Sci. S\'er A-B Paris 284: 1357-1359 (1977)

{7} S. Reich, Strong convergence theorem for resolvants of accretive operators in Banach spaces, J. Math. Anal. Appl. 75: 287-292 (1980)

{8} R. Wittmann, Approximation of fixed points of nonexpansive mappings, Arch. Math. 59: 486-491 (1992)

{9} Y. Song, A new sufficient condition for strong convergence of Halpern type iterations, Appl. Math. Comput. 198(2,1): 721-728 (2007)

{10} Ya.I. Alber, On the stability of iterative approximations to fixed points of nonexpansive mappings, J. Math. Anal. Appl. 328: 958-971 (2007)

{11} K. Nakajo and W. Takahashi, Strong convergence theorem for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroup, J. Math. Anal. Applic. 279: 372-379 (2003)

{12} C. Martinez-Yanes, H.K. Xu, Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes, Nonl. Anal. 64: 2400-2411 (2006)

{13} M.V. Solodov, B.F. Svaiter, Forcing strong convergence of proximal point iterations in Hilbert space, Math. Progr. 87: 189-202 (2000)

{14} Nguyen Buong, Strong convergence theorem for nonexpansive semigroup in Hilbert space, Nonl. Anal. 72(12): 4534-4540 (2010)

{15} Nguyen Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Math. and Comp. 217: 322-329 (2010)

{16} Nguyen Buong, Strong convergence of a method for variational inequality problems and fixed point problems of no expensive semigroup in Hilbert spaces, J. Appl. Math \& Informatics. 29(1-2): 61-74 (2011)

{17} Nguyen Buong and Nguyen Dinh Duong, A method for equilibrium problem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, Fixed Point Theory and Application, appear 2011.

{18} A. Moudafi, Viscosity approximation methods for fixed-point problems, J. Math. Anal. Appl. 241: 46-55 (2000)

Các vấn đề có liên quan đến tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert, là một trong những hướng nghiên cứu gần đây. Mới đây trong [14], [15], [16], và [17], GS. Nguyễn Bường đã đề xuất một cách tiếp cận mới trong đó C_n và Q_n luôn là hai nửa không gian và giảm nhẹ điều kiện trong phương pháp xấp xỉ của Moudafi [18].

Trong đề tài này chúng tôi đưa ra sự hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và sự hội tụ về một điểm bất động chung của một nửa nhóm các ánh xạ không giãn. Phương pháp lặp ẩn, phương pháp lặp hiện.

Chúng tôi giới thiệu một vài phương pháp lặp mới trên cơ sở phương pháp lai ghép trong toán quy hoạch và phương pháp đường dốc nhất để xác định điểm bất động của một ánh xạ không giãn và điểm bất động chung của một nửa nhóm các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Kết quả của đề tài này là sự cải biên và cải tiến của một vài kết quả đã biết.

Các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện dựa trên cơ sở phương pháp lặp co Krasnoselskii-Mann tìm điểm bất động các ánh xạ tựa không giãn trên một tập con lồi trong trong không gian Hilbert thực.

Sự hội tụ mạnh về điểm bất động của ánh xạ không giãn

Sự hội tụ mạnh về một điểm bất động chung của một nửa nhóm các ánh xạ không giãn

Phương pháp lặp ẩn

Phương pháp lặp hiện

Viết bài báo trong nước và nước ngoài.

Tải file Một số phương pháp lai xuống dốc và co hẹp cho ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn tại đây